11. 因子时间序列测试¶
11.1. 时间序列测试模型¶
11.1.1. 符号说明¶
用变量 \(i,1\le i\le N\) 标识证券, \(t,1\le t\le T\) 表示时间, \(j,1\le j\le M\) 表示因子.
- \(F_{t,j}\): 时间序列因子 \(j\) 在 \(t\) 时刻的取值, \(\mathbf{F}=\left(F_{t,j}\right)_{T\times M}\) 为因子矩阵, \(\mathbf{F}_{:,j}=\left(F_{t,j}\right)_{T\times 1}\) 为因子的时间序列, \(\mathbf{F}_{t,:}=\left(F_{t,j}\right)_{M\times 1}\) 为因子截面向量.
- \(P_{t,i}\): 证券 \(i\) 在 \(t\) 时刻的价格, \(\mathbf{P}=\left(P_{t,i}\right)_{T\times N}\) 为价格矩阵, \(\mathbf{P}_{:,i}=\left(P_{t,i}\right)_{T\times 1}\) 为价格的时间序列, \(\mathbf{P}_{t,:}=\left(P_{t,i}\right)_{N\times 1}\) 为价格的证券截面向量.
- \(R_{t,i}\): \([t-1,t]\) 时段证券 \(i\) 的收益率, \(\mathbf{R}=\left(R_{t,i}\right)_{T\times N}\) 为收益率矩阵, \(\mathbf{R}_{:,i}=\left(R_{t,i}\right)_{T\times 1}\) 为收益率的时间序列, \(\mathbf{R}_{t,:}=\left(R_{t,i}\right)_{N\times 1}\) 为收益率的证券截面向量.
- \(R_{t,i}(\tau)\): \([t-\tau,t]\) 时段证券 \(i\) 的收益率, \(R_{t,i}(\tau)=R_{t,i}(1)\), \(\mathbf{R}(\tau)=\left(R_{t,i}(\tau)\right)_{T\times N}\) 为收益率矩阵, \(\mathbf{R}_{:,i}(\tau)=\left(R_{t,i}(\tau)\right)_{T\times 1}\) 为收益率的时间序列, \(\mathbf{R}_{t,:}(\tau)=\left(R_{t,i}(\tau)\right)_{N\times 1}\) 为收益率的证券截面向量.
收益率的计算考虑三种方法:
简单收益率:
\[R_{t,i}(\tau) = \frac{P_{t,i}}{P_{t-\tau,i}}-1\]对数收益率:
\[R_{t,i}(\tau) = \operatorname{log}P_{t,i} - \operatorname{log}P_{t-\tau,i}\]价格变化量:
\[R_{t,i}(\tau) = P_{t,i} - P_{t-\tau,i}\]
11.1.2. 时间序列相关性¶
往期因子值和当期收益率的相关性, 设预测期数为 \(\tau_p\), 因子的滞后期数为 \(\tau_l\):
\[\rho_{i,j}=\frac{\sum\limits_{t=1}^{T}\left(R_{t,i}(\tau_p) - \bar{R}_{i}(\tau_p)\right)\cdot\left(F_{t-\tau_p-\tau_l,j} - \bar{F}_{j}\right)}{\sqrt{\sum\limits_{t=1}^T\left(R_{t,i}(\tau_p) - \bar{R}_{i}(\tau_p)\right)^2\cdot\sum\limits_{t=1}^T\left(F_{t-\tau_p-\tau_l,j} - \bar{F}_{t-\tau_p-\tau_l,j}\right)^2}}\]
其中:
\[\bar{R}_{i}(\tau_p)=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}{R_{t,i}(\tau)}\]\[\bar{F}_{j}=\frac{1}{T}\sum\limits_{t=1}^{T}{F_{t-\tau_p-\tau_l,i}}\]
11.1.3. 回归分析¶
以当期收益率作为因变量, 往期因子值作为自变量进行回归, 设预测期数为 \(\tau_p\), 因子的滞后期数为 \(\tau_l\):
\[R_{t,i}(\tau_p) = c_i+\sum\limits_{j=1}^{M}\beta_j\cdot F_{t-\tau_p-\tau_l,j}+\varepsilon_{t,i}\]
11.1.4. 收益率的差异性¶
考察不同因子取值的条件下, 证券收益率的差异性. 设预测期数为 \(\tau_p\), 因子的滞后期数为 \(\tau_l\). 对因子的时间序列 \(\mathbf{F}_{:,j}\) 进行排序, 分成 K 组, 每一组对应的证券收益率形成一个样本, 比较 K 个样本之间的差异性. 比如利用 t 检验等统计检验方法.